Riemannsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \zeta }$ (Zeta).

Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer der Zahl ${\displaystyle 1}$. Für Werte ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ mit Realteil größer als ${\displaystyle 1}$ wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Sie lautet:

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann.

Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist der Zusammenhang der Zeta-Funktion mit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache ${\displaystyle \zeta (s)\neq 0}$ für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1}$ bereits, dass die ${\displaystyle n}$-te Primzahl ${\displaystyle p_{n}}$ „recht genau“ den Wert ${\displaystyle n\log(n)}$ hat – genauer gesagt folgt^[1][2]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{n\log(n)}}=1.}$

Hier bezeichnet ${\displaystyle \log(n)}$ den natürlichen Logarithmus von ${\displaystyle n}$. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bisher unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit.

Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion in den Bereichen ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1}$ und ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)\leq 0}$ gilt als gut verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des kritischen Streifens ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1}$ im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).

Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion.

Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.

1. ↑ Barkley Rosser: Explicit bounds for some functions of prime numbers. In: American Journal of Mathematics. 63. Jahrgang, Nr. 1, 1941, S. 211–232, doi:10.2307/2371291.  Vorlage:Cite journal: Der Parameter language wurde bei wahrscheinlich fremdsprachiger Quelle nicht angegeben.
2. ↑ E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1, Springer; Auflage: 4. Aufl. 2006, ISBN 978-3-540-31764-7, S. 440